RESONANCIA, FACTOR DE CALIDAD Y CAVIDADES RESONANTES

Además de lo ya visto en secciones anteriores, las secciones de línea terminadas en cortocircuito tienen una aplicación muy importante en el diseño y fabricación de filtros, medidores de frecuencia, amplificadores y osciladores. Específicamente, un tramo coaxial cortocircuitado en ambos extremos puede, bajo ciertos parámetros de trabajo, funcionar como una cavidad resonante o resonador de cavidad. A muy altas frecuencias, un resonador toma el lugar de lo que sería el conjunto de  inductancias y capacitancias empleadas a frecuencias más bajas en circuitos "resonantes" o "sintonizados".

Antes de entrar en materia, recuérdese que un circuito resonante en serie o en paralelo tiene una frecuencia resonante f₀ dada por la ecuación siguiente:

f₀ = 1 / 2π √LC


Serie:

  

Paralelo:

Se dice que un circuito es resonante cuando responde o entrega a la salida con amplitud máxima, para una cierta fuerza o señal de entrada aplicada. Esto ocurre a una cierta frecuencia de resonancia, en la que la reactancia inductiva es igual en magnitud ala reactancia capacitiva; es decir:

wL = 1 / wC

wL : magnitud de la reactancia inductiva

1/ wC : magnitud de la reactancia capacitiva

Sustituyendo w = 2 (pi) f , la igualdad anterior se resuelve para encontrar la frecuencia de resonancia de resonancia dada por la ecu.

Si ahora se introduce la resistencia R que tiene todo circuito en la realidad, los circuitos en serie y en paralelo adoptan la forma mostrada.

Serie:

Paralelo:

La magnitud de impedancia de entrada total del circuito resonante en serie es minima a lafrecuencia f₀ , en la que las componentes reactivas se cancelan. La corriente alcanza su valor maximo bajo esta condicion, y se dice que el circuito esta en resonancia. A frecuencias un poco arriba y un poco abajo de la frecuencia de resonancia f₀ , la corriente sera menor, obteniendose asi una resppuesta similar.

Notese que la caida de boltaje entre las terminales del capacitor con reactancia X_c seria igual a v_C = ( X_C)(i). Es decir que , aun cuando el voltaje de entrada aplicado al circuito seabajo, originando cierta corriente i (maxima en resonancia) , el voltaje en el capacitor sera muchas veces mayor, por un factor igual a Q. Debido a esta magnificacion, este factor Q del circuito tambien se conoce como "factor de magnificacion", o simplemente se le dice "la Q" del circuito. Para el circuito resonante en serie bajo estudio, esta Q esta dada por:

Q = X_L / R = X_C / R

Mientras menor sea la resistencia del circuito, la Q sera cada vez mas grande, a la frecuencia de resonancia. En el caso ideal, si R=0, la Q tenderia a infinito.

Por lo que se refiere al circuito en paralelo, cuando esta en resonancia, presenta una impedancia de entrada muy alta. En este caso, el factor Q esta dado por:

Q = R / X_L = R / X_C

y la impedancia de entrada, en funcion de la frecuencia f , se puede calcular a partir de la expresion siguiente, cuya demostracion se omitira en el texto:

Z_i(f) = R /  1 + jQ { f / f₀  - f₀/f }

En donde f₀ es la frecuencia de resonancia por la ecuacion. La grafica de la magnitud de Z_i se puede obtener a partir de ka ecuacion, resultando una curva tipica. En resonancia, su face vale cero; para otras frecuencias varia entre +90° y -90°, volviendose mas y mas inductiva o capacitiva a frecuencias cada vez mas lejos de la de resonancia.

El recordatorio que hemos hecho nos permite ahora suponer que en una linea de transmision de longitud l con muy bajas perdidas ( al pequeño) pueda obtenerse el fenomeno deresonancia. De hecho, ya seha visto que la impedancia vista a lo largo de una linea desacoplada se repite cada X/2, y que hay maximos y minimos alternados cada X/4, y su modelo equivalente en teoria de circuitos seria precisamente el del circuito RLC en paralelo. Omitiremos aqui el desarrollo matematico y presentaremos solamente los resultados de esta equivalencia.

Si la linea X/4 y sus perdidas son bajas, al igualar las ecuaciones de la impedancia de entrada de la linea y de su circuito equivalente RLC , resulta que :

 R= Z₀ / al  ;  L= 2Z₀ / (pi)² f₀ ; C = 1 / 8 Z₀ f₀

y de la ecuacion, la Q de la linea es:

 Q = R / X_L = R/2(pi) f₀ L = (pi) / 4al

De la ecuacion, se observa que si al es muy pequeña, la Q de la linea de bajas perdidas cortocircuitada sera muy grande, de varios cientos o miles, segun el caso. Es decir, que su impedancia de enttrada es muy alta a la frecuencia de resonancia; por lo tanto, las frecuencias bajas pasan libremente, mientras que la frecuencia de resonancia es bloqueada.

En el caso de  una linea de X/4 terminada en circuito abierto, su circuito equivalente seria el circuito RLC en serie. Ambos (linea y circuito) presentan una impedancia de entrada muy baja, que bloquea a las frecuencias bajas y permite el paso libre de una onda a la frecuencia de resonancia ( cuando l = X/4 ).

Las propiedades anteriores de resonancia se aprovechan para fabricar cavidades resonantes. Existen diferentes tipos de cavidades, tambien se utilizan en sistemas de microondas con guias rectangulaes y circulares, donde adoptan la forma de "cajas" rectangulares o cilindricas con pequeñas aperturas.

Tal como se expreso al inicio de esta seccion, las cavidades resonantes permiten diseñar una gran variedad de elementos necesarios a altas frecuencias, como filtros selectivos y medidores de frecuencia. 

ACOPLAMIENTO CON DOS EQUILIBRADORES REACTIVOS ( DOS "STUBS")

El metodo visto en la seccion anterior birnda el acoplamiento buscado a una determinada frecuencia y para cierta impedancia de la carga. La tecnica es interesante, porque cualquier carga finita diferente de cero se puede acoplar a la linea con un "stub" . Sin embargo, la frecuencia o la carga cambian sustancialmente despues de hecho el acoplamiento, habra que modificar la longitud del "stub", y tambien su posicion a lo largo de la linea. Lo primero no es mayor problema, pues existen dispositivos deslizables que permiten acercar o alejar al corto circuito, segun la reactancia de entrada que se desee. En cambio, intentar modificar la posicion de "stub" si puede resultar muy incoveniente, en particular en un cable coaxial. La solucion a esta dificultad es emplear dos equilibradoresreactivos, en lugar de uno solo. De esta manera, las posiciones de los dos "stubs" se conservan fijas, y sus reactancias de entrada respectivas se pueden variar deslizando el corto circuito, lograndose asi la sintonizacion o el acoplamiento optimo en un rango mas amplio de frecuencias. Sin duda, esta alternatva de acoplamiento es mejor que la que utiliza un solo "stub", pero tiene el defento de que no hay solucionposible para todo tipo de carga, sino solamnete para un cierto rango de valores de Z_{L. Cuando este problema se presenta, la solucion inmediata es emplear tres "stubs" con ellos, cualquier carga puede acoplarse a la linea.}

El criterio y el procedimiento grafico a seguir para adaptar o acoplar una linea con su carga empleando dos equilibradores reactivos de posicion fija se describem a continuacion.

La condicion de acoplamiento en las terminales AA´ es la misma que en el caso del acoplamiento con un "stub". Es decir, a la derecha AA´, la linea debe ver una admitancia de entrada Y0, igual a su admitancia caracteristica. La distancia I2 entre las dos ramas cortocircuitadas debe fijarse, y por lo general se hace igual a X/8, aunque tambien pueden emplearse otros valores. Despues se fija I1, y el problema entonces se reduce a encontrar las longitudes L1 y L2. Si la situacion lo permite, I1 puede inclusive ser igual a cero, es decir, que el "stub" L1 se puede conectar junto a la carga.

Trabajo con admitancias normalizadas, en AA' debe tenerse que:

Y'i = 1

Para que lo anterior se cumpla, se requiere que:

Y'i = Y'A + Y's2 = (1+jbA) + jbs2 = 1 ; jbs2 : Admitancia normalizada del "stub" 2

o sea:

bs2 = -bA

En la carta de Smith, la admitancia Y'A = 1 + jbA debe estar en "algun lugar" sobre el circulo correspondiente a g=1. Por lo tanto, esta admitancia, transferida al punto B donde esta conectado el "stub" 1, es decir , desplazada una distancia I2 hacia la carga, debe estar en "algun lugar" sobre otro circuloque equivale al circulo g=1 movido un angulo igual al equivalente a moverse I2 hacia la carga(en el sentido contrario del reloj). Es decir, todas las admitancias posibles sobre el circulo g=1 se transfieren al punto B y quedan ahora en el circulo B.

ACOPLAMIENTO CON UN EQUILIBRADOR REACTIVO "STUB"

Los dos ejercicios anteriores nos van a servir para comprender rapidamente este tipo de acoplamiento con un eequiibrador reactivo. Se puede decir que el problema ya esta resuelto en gran medida, pues solo falta juntar los resultados de ambos ejercicios. Se desean eliminar las reflexiones a la izquierda de la union AA´. Para que esto se logre, se necesita que la linea principal vea en dicha union una admitancia igual a su admitancia caracteristica. El equilibrador reactivo debe compensar o equilibrar la susceptancia de la carga transferida al punto A con su propia susceptancia de emtrada. Notese que para el "stub", su entrada o inicio corresponde a la union AA´. Este tramo de linea se considera sin perdidas, al igual que la linea principal, y su admitancia caracteristica tambien vale Y_0.

De acuerdo con toda la teoria vista hasta ahora, la impedancia(o la admitancia ) de lacarga se puede "transferir" a otros puntos de la linea, en donde se ven impedancias(o admitancias) diferentes, segun la distancia I1 para la cual Y = Y0 + jS. Si en ese lugar (AA´) se une un "stub" en paralelo, cuya admitancia de entrada valga YS=-jS, la admitancia de entrada total sera:

Yi = Y+YS=Y0+jS-jS=Y0

y la lineaestara acoplada.

Desde luego, el mismo problema se puede simplificar si se utilizan admitancias normalizadas y la carta de Smith, en cuyo caso se requiere que:

y' = Y/Y0 = Y0+jS/Y0 = 1+jb

Y'S = -jS/Y0 = -jb

Y'i = Y' + Y'S = 1 + jb - jb = 1

El problema entonces consiste en determinar dos variables:

a) La distancia I1na la que se debe colocar el equilibrador

b) La longitud L1 del mismo

PROBLEMAS CARTA DE SMITH

TIPOS DE CABLE COAXIAL

Los dieléctricos utilizados para separar el conductor central de la vaina externa definen 
de manera importante el coeficiente de velocidad, y por lo tanto, la calidad del cable. 
Entre los materiales más comunes utilizados se encuentran: 


1. Cable coaxial con dieléctrico de aire: se diferencian dos tipos, en unos se utiliza 
de soporte y de separación entre conductores una espiral de polietileno y en 
otros existen unos canales o perforaciones a lo largo del cable de modo que el 
polietileno sea el mínimo imprescindible para la sujeción del conductor central. 
Son cables que presentan unas atenuaciones muy bajas. 

2. Cable dieléctrico de polietileno celular o esponjoso: presenta más consistencia 
que el anterior pero también tiene unas pérdidas más elevadas. 

3. Cable coaxial con dieléctricos de polietileno macizo: de mayores atenuaciones 
que el anterior y se aconseja solamente para conexiones cortas (10-15 m 
aproximadamente).  


4. Cable con dieléctrico de teflón: tiene pocas pérdidas y se utiliza en microondas. 


En redes de área local bajo la norma 10Base2, prácticamente caída en desuso a fines de la década de 1990, se utilizaban dos tipos de cable coaxial: fino y grueso. 
Se puede conseguir anchos de banda comprendidos entre corriente contínua 
(Transportan modos TEM, que no tienen frecuencia de corte inferior) y más de 40 GHz, dependiendo del tipo de cable.

Un ejemplo habitual de su uso para corriente contínua es la alimentación de los amplificadores de antena, compartiendo el cable con la señal de RF. 


Los cables coaxiales más comunes son el RG-58 (impedancia de 50 Ohm, fino) y el RG-59 (impedancia de 75 Ohm, fino). El primero es sumamente utilizado en equipos de radioaficionados y CB, el segundo entre las antenas Yagi de recepción de televisión, el televisor, y sobre todo en el transporte de señal de vídeo: compuesto, por componentes, RGB y otras como el SDI.

Otro cable coaxial comun es el denominado RG-6 mismo que utilizan las empresas de TV por cable (impedancia 60 Ohms)

CARTA DE SMITH

La carta de Smith es un tipo de nomo-grama, usado en ingeniería eléctrica, que muestra cómo varía la impedancia compleja de una línea de transmisión a lo largo de su longitud. Se usa frecuentemente para simplificar la adaptación de la impedancia de una línea de transmisión con su carga.

DEFINICION:

La carta de Smith es un diagrama polar especial que contiene círculos de resistencia constante, círculos de reactancia constante, círculos de relación de onda estacionaria constante y curvas radiales que representan los lugares geométricos de desfase en una línea de valor constante; se utiliza en la resolución de problemas de guías de ondas y líneas de transmisión.

USOS:

La carta de Smith es una herramienta gráfica usada para relacionar un coeficiente de reflexión complejo con una impedancia compleja. Se puede utilizar para una variedad de propósitos, incluyendo la determinación de la impedancia, la adaptación de la impedancia, la optimización del ruido, la estabilidad y otros. La carta de Smith es una ingeniosa técnica gráfica que virtualmente evita todas las operaciones con números complejos. Por ejemplo, se puede determinar la impedancia de entrada a una línea de transmisión dando su longitud eléctrica y su impedancia de carga.

El resultado importante es el hecho de que el coeficiente de reflexión de tension y la impedancia de entrada a la línea normalizada en el mismo punto de la línea, están relacionados por la carta de Smith. En la parte exterior de la carta hay varias escalas. En la parte exterior de la carta está una escala llamada "ángulo del coeficiente de reflexión en grados", a partir de ésta se puede obtener directamente el valor del argumento del coeficiente de reflexión.

Un par de escalas de suma importancia son las que relacionan la longitud de la línea de transmisión desde el inicio con el coeficiente de reflexión. Una de estas dos escalas está en el lado izquierdo de la carta de Smith y la otra corre en el sentido de las manecillas del reloj, ésta se denomina wavelengths toward generator (longitudes de onda hacia el generador), lo cual indica que si se utiliza esta escala se estará avanzando hacia el generador, hacia la entrada de la línea. La otra escala corre en sentido contrario de las manecillas del reloj y se denomina wavelenghts toward load (longitudes de onda hacia la carga); esto indica que, si se utiliza esta escala, se estará avanzando hacia la carga o final de la línea.

En el fondo de la carta hay un conjunto de varias escalas, una de las cuales se denomina Reflection coeff. Vol (Coeficiente de reflexión del voltaje). Si se mide la longitud del vector, trazado siempre desde el origen, se puede utilizar esta escala para conocer la magnitud del coeficiente de reflexión del voltaje.

HISTORIA:

Fue inventada por Phillip Smith en 1939 mientras trabajaba para RCA, aunque el ingeniero japonésKurakawa inventó un dispositivo similar un año antes. El motivo que tenía Smith para hacer este diagrama era representar gráficamente las relaciones matemáticas que se podían obtener con unaregla de cálculo.

La carta de Smith fue desarrollada en los Laboratorios Bell. Debido a los problemas que tenía para calcular la adaptación de las antenas a causa de su gran tamaño, Smith decidió crear una carta para simplificar el trabajo. De la ecuación de Fleming, y en un esfuerzo por simplificar la solución del problema de la línea de transmisión, desarrolló su primera solución gráfica en la forma de un diagrama rectangular.

Phillip persistió en su trabajo y el diagrama fue desarrollado gradualmente con una serie de pasos. La primera carta rectangular fue limitada por la gama de datos que podría acomodar. En 1936 desarrolló un nuevo diagrama que eliminó la mayoría de las dificultades. La nueva carta era una forma coordinada polar especial en la cual todos los valores de los componentes de la impedancia podrían ser acomodados.

Las curvas del cociente constante de la onda de la situación, de la atenuación constante y del coeficiente de reflexión constante eran todos los círculos coaxiales con el centro del diagrama. Las escalas para estos valores no eran lineales, pero eran satisfactorias. Con el tiempo la gente que trabaja en este ámbito propuso las cartas para solucionar problemas de las líneas de transmisión.

CABLE COAXIAL PROBLEMA 2