4.1 INTRODUCCION
El método matematico que se utiliza para analizar una
determinada línea o ducto de transmisión depende fundamentalmente del tamaño
eléctrico del espacio por el cual se propagan las ondas electromagnéticas. Todo
es cuestión de escala.
Si el espacio es pequeño comparado con la longitud de onda
característica λ0 entonces se aplican la teoría de circuitos de
corriente alterna y la teoría general de líneas de transmisión vistas.
Cuando dicho espacio (la sección de corte transversal de la
línea o ducto) tiene dimisiones del mismo orden que el tamaño de la longitud de
onda característica, ocurren efectos de propagación de la onda que pueden ser descritos
resolviendo las ecuaciones de Maxwell y empleando campos electromagnéticos, en
lugar de corrientes y voltajes.
En cambio, si el espacio (por ejemplo, el aire o “el espacio
libre”) por el que una onda electromagnética viaja es grande comparado con la
longitud de onda característica, es válido describir el comportamiento de
propagación, en forma muy aproximada, por medio de una onda electromagnética
plana. Mientras mayor sea el espacio de propagación en términos eléctricos,
mejor será la aproximación usando una onda plana.
Los efectos de propagación en las guías de ondas cuyas
dimensiones transversales son comparables a λ0 serán estudiados en
este capítulo. Se verán las guías rectangulares y circulares, que son las de
mayor uso en los sistemas prácticos de microondas terrestres y comunicaciones por
satélite. También se estudiara el comportamiento de las placas paralelas y de
la guía de ondas elíptica. Con excepción de las placas paralelas, las demás
guías son “huecas”, pues consisten de un solo conductor cerrado, en cuyo
interior generalmente hay aire.
Con el fin de entender mejor que ocurre dentro de una guía
hueca (rectangular, circular o elíptica), el presente análisis se iniciara con
un recordatorio de las propiedades de una onda electromagnética plana; después
se tratara el caso de las placas paralelas, que pueden conducir tanto una onda
TEM como también modos superiores; y finalmente, se estará preparado para
analizar las guías de un solo conductor o huecas.
4.2 LA ONDA ELECTROMAGNETICA PLANA
Una onda TEM es aquella cuyos campos E y H son
perpendiculares entre si, y ambos a la vez son perpendiculares a la dirección de
propagación, misma que se designara como la dirección a lo largo del eje “z”.
Si además de lo anterior, la magnitud y la fase de cada campo son iguales en
todos los puntos de un plano cualquiera, para el cual z es constante, entonces
la onda es plana. Es decir, en un plano z = constante perpendicular a la dirección
en que viaja la onda, los campos E y H son independientes de las coordenadas “x”
y “y”; en planos paralelos con valores de “z” diferentes, los campos aumentaran
o disminuirán de valor, de acuerdo con la periodicidad de la onda, pero seguirán
siendo iguales en todos los puntos de cada nuevo plano en cuestión. Ambos
campos, E y H, están en fase, pues alcanzan sus valores máximos al mismo
tiempo.
4.2.1 LA ONDA PLANA EN UN MEDIO SINPERDIDAS
Para encontrar la expresión matemática de una onda plana, es
necesario resolver las ecuaciones de Maxwell.
Considérese ahora que el medio de propagación es el “espacio
libre”, con conductividad igual a cero y sin fuentes de radiación presentes
(cargas y corrientes). Las fuentes (ρ y J
fuente) si existen, pero están en algún lugar lejano del espacio
en el que ahora viaja la onda y donde quiere encontrarse su solución matemática.
Por tanto, Jf vale cero,
y ρ, la densidad de carga, también vale cero. Además, como la conductividad σ
del espacio libre se considera igual a cero, y dado que Jconductor = σE, el producto da cero, y entonces toda la
densidad de corriente J es igual a
cero.
Por consiguiente, las cuatro ecuaciones de Maxwell, para
encontrar la solución de propagación en el espacio libre, se reducen a:
Antes de intentar resolver estas ecuaciones, conviene
introducir la herramienta auxiliar de los fasores para los campos. Para esto,
se supone que los campos eléctrico y magnético tienen una dependencia senoidal
con relación al tiempo, a una frecuencia angular ω = 2πf, es decir:
En donde la magnitud de E0 y la fase Ѳ solo son
funciones del vector de posición r. Ahora, si se definen los fasores de E y H
como funciones de r, de la manera siguiente:
Se reescriben como:
Al sustituir las ecuaciones, con B=μH y D=εE, y dado que
derivar parcialmente con relación al tiempo se vuelve equivalente a multiplicar
por jω, se obtienen las ecuaciones
fasoriales siguientes:
Estas ecuaciones se pueden resolver fácilmente, lo cual justifica
el uso de los fasores. Habiendo obtenido las soluciones E y H, se utilizan estas
ecuaciones para representar la solución completa real o instantánea, que es
tanto dependiente de la posición r como del tiempo t. Como es fácil de ver,
este artificio matemático permite resolver un sistema de ecuaciones de tres
variables (x, y, z) en lugar de tener que hacerlo con cuatro variables (x, y,
z, t).
En términos generales, E tiene componentes Ex, Ey
y Ez, y H tiene componentes Hx, Hy y Hz.
Para el caso de la onda plana en cuestión:
Ya que los campos no dependen ni de “x” ni de “y” (son
constantes en el plano z = constante), y la onda es TEM y totalmente
transversal al eje z. De manera que, al sustituir al rotacional del vector por
sus tres componentes cartesianas, estas se convierten en el siguiente sistema
de ecuaciones simultáneas con derivadas parciales:
Al eliminar la variable Hy, se obtiene la ecuación
de segundo orden.
Cuyas soluciones son:
En donde A y B son constantes; β= ω √με y se denomina la
constante de fase. Al sustituir la solicion que se propaga alejándose de la
fuente, se concluye que:
Osea que la magnitud del campo eléctrico (enV/m y orientado
en la dirección x) es η veces mayor que la magnitud del campo magnetico (en A/m
y orientado perpendicularmente, en la dirección “y”).
Similarmente, al combinar las ecuaciones se obtienen las
soluciones para Ey y Hx. El campo E puede estar orientado
de tal forma que consista en sus dos componentes Ex y Ey,
pero para efectos de análisis en muchos problemas practicos, es fácil elegir un
sistema de coordenadas de referencia de tal forma que el vector E total este
alineado en la dirección x y el H total en la dirección y. Siendo asi el caso,
Ey y Hx no existen, considerando que la onda electromagnética
viaje en la dirección positiva de “z”.
Se obtienen las expresiones completas(instantáneas) para los
campos de una onda plana que viaja en la dirección positiva de “z”, en función de
la posición y del tiempo:
La velocidad a la que la onda viaja a lo largo del eje “z”
es igual a ω/β y recibe el nombre de velocidad de fase:
Si el medio de propagación es el vacio o el aire, dicha
velocidad es igual a c, la velocidad de la luz.
4.2.2 LA ONDA PLANA EN UN MEDIO CON PÉRDIDAS
Cuando el medio de propagación es disipativo, es decir que σ
≠ 0, entonces la densidad de corriente de conducción JC en la ecuación no se cancela y la expresión para el
rotacional de H empleando fasores queda del modo siguiente:
La ecuación es realmente de la misma forma, solo que con la
constante ε reemplazada por una nueva cantidad compleja (ε + σ/jω). Esta se
representa como έ. De modo que las ecuaciones diferenciales que hay que
resolver son del mismo tipo y, por lo tanto, las soluciones buscadas para el
medio con conductividad finita σ son similares pero con jβ sustituida ahora por
la constante compleja γ, denominada constante de propagación:
Las ecuaciones se pueden reescribir de tal manera que en
ambas aparezca el factor √1+σ/jωε. El cociente σ/jωε es la tangente de perdidas
descrita con anterioridad. Algebraicamente, se puede demostrar que si este
cociente σ/ωε es muy pequeño (<<1), como sucede con los dieléctricos de
perdidas muy bajas, entonces las ecuaciones se simplifican y toman la forma.
Se observa que en este caso la impedancia de la onda, η, y
la constante de la fase, β, tienen valores idénticos a cuando el medio de propagación
no tiene perdidas. Sin embargo, como el dieléctrico ahora bajo estudio si tiene
una conductividad finita, aparece un valor real en la constante de propagación γ,
que indica cuanto se atenúa la onda conforme avanza a lo largo de la dirección “z”;
esta cantidad, representada por α en la ecuación, recibe acordemente el nombre
de constante de atenuación. Una vez más, nótese la similitud de las ecuaciones
deducidas para las líneas de dos conductores con perdidas.
4.2.3 LA ONDA PLANA EN UN CONDUCTOR
El otro caso extremo que permite simplificar las ecuaciones
es cuando el cociente σ/jωε es muy grande (>>1). Tal es el caso para los
medios que so buenos conductores, y las expresiones para γ y η quedan entonces
como:
Se nota que el campo magnético está atrasado π/4 con relación
al campo eléctrico, ya que EX=ηHY. Es decir, los campos E
y H ya no están en fase, como si era el caso para los medios dieléctricos de
bajas perdidas en la sección anterior.
El inverso de α o β recibe el nombre de profundidad de penetración
y recuérdese que se designa en este texto con la letra l. De modo que:
Por lo tanto, las expresiones fasoriales para los campos E y
H son:
Y las expresiones instantáneas correspondientes (en función del
tiempo) resultan ser:
Vea la siguiente tabla para contar con una referencia
comparativa rápida.
Hola, agradezco tu informacion, disculpa, ¿Cuál es tu referencia, me parece que es un libro?
ResponderEliminarGracias